Математична етика. Правила поведінки доведені математикою.

Математика - це не просто наука. Це - щось більше. Якщо всі решта науки описують наш світ, то математика - позасвітова. Якщо уявити собі паралельний всесвіт, де є вісім сил, замість наших чотирьох, де час - двовимірний і подорожі в ньому - звична річ, де замість планет є якась всесвітня павутина, де живуть газоподібні створіння, то закони фізики, хімії чи біології там будуть зовсім іншими. Але математика там буде та сама. Якщо всесвіт раптом кудись зникне, зникне час, простір та матерія, і усі закони втратять свій зміст, математика все одно лишиться. Математика - це те, що існує незалежно від усього. Математика - воістину вічна. Один плюс один завжди дорівнюватиме два, що б там не було.

Відповідно, якщо математика може нас навчити якихось правил поведінки - хіба ж не абсолютними вони будуть? Якщо якесь етичне вчення має своєю основою математику - чи ж не буде воно істинним. Але чи є такі правила? Чи це взагалі можливо? Як це не дивно, але - так. Деякі з наступних правил - це просто спостереження, але є й цілком конкретні настанови.

Задачі і їх розв’язки

Існує правда і брехня. Є рішення правильні, а є неправильні. Так є в математиці, так є і в житті. Не все відносно.

Існують задачі, де є більше ніж одне правильне рішення. Наприклад, в квадратних рівняннях. Так є в математиці, так є і в житті. Не все однозначно.

Навіть якщо в задачі є один правильний розв’язок, до нього можна прийти різними шляхами. Деякі з них можуть бути простіші за інші, але іноді це справа смаку. В теореми Піфагора є десятки доведень. Правильні шляхи в житті теж можуть бути різними.

Навіть якщо в задачі є декілька розв’язків, деякі з них можуть бути безглуздими. Наприклад, вони від’ємні, або уявні. Якщо нам треба зробити квадрат з площею в чотири метри, то розв’язок зробити сторону мінус два метри нам не підходить. Щоб перевірити, чи розв’язок не є безглуздим, треба зважати на умови задачі.

Не всі прості задачі мають простий розв’язок. Іноді постановка задачі дуже проста, але її рішення вкрай складне. Такою є задача про чотири кольори - чи можна розмалювати будь-яку карту використовуючи лише чотири кольори. Розв’язок цієї проблеми ох який не простий. Чи варто нагадувати, що так буває і в житті?

Не всі задачі взагалі мають розв’язок. З цим треба просто змиритися.

Не всі задачі мають розв’язок, навіть якщо здається, що розв’язок має бути. Наприклад неможливо розділити кут на три рівні частини використовуючи циркуль та лінійку. Хоча б здавалося - що там складного. Багато хто бився над цією задачею, а вона виявилася нерозв’язною. Це не означає, що не треба старатися. Але треба розуміти, що розв’зку може і не бути. Такі задачі є і досі. Моя улюблена - це гіпотеза Коллатца. Вона звучить просто, але ми так і не знаємо, чи її можливо розв’язати, чи ні.

А є задачі, в котрих ми точно знаємо, що розв’язок є, але ми не знаємо який. Бо просто його дуже складно вирахувати. Такою є задача комівояжера - пошук найшвидшого шляху між містами. Але є способи вирішити цю задачу, хоч і не найкращим чином, але “достатньо добре” і значно швидше. Можна намагатися витратити все життя і мільйони доларів, щоб шукати найкращий розв’язок і так його і не знайти. А можна задовільнитись достатньо хорошим розв’язком, котрий, можливо, відрізняється від найкращого на піввідсотка. Ймовірно тут йдеться про доцільність перфекціонізму.

Між алгоритмами, які вирішують задачі “достатньо добре” є так звані “генетичні алгоритми”. Вони шукають хороше рішення еволюційним шляхом - створюючи приблизні рішення, а потім змінюючи їх і відбираючи кращі. Еволюція працює навіть тут. Постійне покращення замість створення одразу чогось ідеального - робоча схема навіть в математиці.

Твердження і доведення

Є твердження, що не є ані брехливими, ані правдивими. Існує математичний аналог фрази “Це твердження - брехливе”. З ним тісно пов’язана теорема Ґеделя про неповноту. Так є і в житті. Це не скасовує існування брехливих та істинних тверджень.

Та ж сама теорема Ґеделя каже, що арифметика не може бути повністю аксіоматичною. Система або є неповною, або суперечливою. Це - дуже нечітке твердження, з якого можна зробити настільки ж нечіткий висновок - неможливо дати бездоганно правильні визначення. В якийсь момент все одно заплутаєшся. Своєрідну відповідь теоремі Ґеделя дає дзен-буддизм, який використовує парадоксальні твердження для досягнення просвітлення.

Навіть в точній математиці можна, допустивши непомітну хибу в міркуваннях, дійти до парадоксальних тверджень. Ось одне з них:

a*a - a*a = a*a - a*a (очевидно)
a(a-a) = (a+a)(a-a) (винесення за дужки і формула різниці квадратів)
a = a+a (скорочуємо на (a-a))
a = 2a (спрощуємо)
1 = 2 (скорочуємо на a)

Що вже говорити про довжелезні словесні, навіть не математичні, твердження, де на десятках сторінках поспіль повторюють “з цього слідує” і “отже очевидно що”, виправдовуючи в кінцевому результаті рабство, комунізм або загарбницькі війни. Словесні твердження складніше перевірити, аніж математичні, а ще в них значно легше помилитися. Кожне наступне “отже” в словесних доведеннях знижує довіру до кінцевого твердження.

В математиці, як і в житті, відповідь залежить від визначень, котрими ми користуємося. Немає єдиної правильної відповіді на питання типу чи можемо ми взяти корінь квадратний з мінус одиниці або скільки буде безкінечність плюс один. Все залежить, як ми визначимо ці поняття і чи ми, бува, не знаходимося в області уявних або трансфінітних чисел. Скільки буде 1+2+3+… і так далі? Залежно від визначень це буде або нескінченність, або -1/12. Безглуздо сперечатися про фемінізм, націоналізм, або справедливість, якщо люди під цими словами розуміють різні речі.

Математичне обґрунтування добра

Теорія ігор створює математичні моделі для повсякденних ситуацій і пробує їх вирішити. Найвідомішою проблемою є “дилема в’язня”.

Уявімо собі, що двох злочинців, що разом скоїли злочин, садять у в’язницю. Але проти них недостатньо доказів. І їх обох просять здати свого напарника, при чому спілкування між в’язнями — відсутнє.

Умови такі:

Якщо обоє мовчатимуть (співпрацюватимуть між собою) і жоден з них не здасть іншого, обоє сидітимуть по одному року
Якщо один здасть, а інший — ні, то перший — виходить на волю, а другий відсиджує 10 років
Якщо обоє здадуть іншого, то обоє сидітимуть по 5 років.

Питання полягає в тому — варто здати свого напарника, чи все таки мовчати?

Здавалося б - завжди логічно здати, тому що незалежно від того, що зробить напарник, здати - вигідніше. Але ця відповідь не враховує майбутні ігри і можливу помсту напарника. Яка стратегія таки є оптимальною?

Щоб це визначити, був проведений експеримент Аксельрода. Він показав, що найкраща стратегія - це для початку завжди співпрацювати. При зраді треба теж зраджувати, але якщо суперник після зради знову співпрацює, то треба йому пробачити і співпрацювати теж.

Якщо коротко - треба завжди починати з добрих намірів, вміти пробачати, але не давати себе образити. Наголошу - це математичний висновок. Між собою змагалися не люди з совістю, а бездушні алгоритми. І якщо вже ці бездушні алгоритми довели, що варто вміти бути добрим, то чи не стосується це також і людей?

Залежності та статистика

Не всі залежності лінійні. Багато графіків не є прямою лінією. Якщо ви цього місяця заробили 10 000 грн, а наступного вам вдалося заробити 15 000, не думайте, що через рік ви будете заробляти 70 000. Так само, як і дитина, що набрала 1кг за перший місяць не набере 24 кг за два роки, чи 60 кг за п’ять. Будьте уважними, коли прогнозуєте майбутнє на основі наявних трендів.

Будь-які прогнози та плани треба звіряти з реальністю. Якщо жінка народжує дитину за 9 місяців, то не можна пришвидшити цей процес до місяця, просто взявши 9 жінок.

Випадковість теж піддається закономірності. Для цього є ціла математична галузь - теорія ймовірності. І ще декілька справжніх галузей - як то казино та букмекери. Це також означає, що контролювати, чи підлаштовуватися можна і під випадкові події. Головне бути до них готовим.

Випадковість таки піддається закономірності. Є риси, котрі хоч і розподілені випадково між людьми, але їх відсоток лишається незмінним. Це може бути, до прикладу, любов до техніки, або вроджена агресивність. Те ж стосується розподілення цих рис між статями. Випадково обрана людина може любити техніку незалежно від статі. Але ймовірність того, що це буде чоловік чи жінка - відрізняється. Цей факт треба зрозуміти, як і тим, хто кидається узагальнюючими твердженнями, що “жінки не здатні до техніки”, так і тим, хто впевнений, що різниці між статями в цьому плані не існує.

З випадковістю також пов’язане те, що ту ж саму задачу люди тої ж самої кваліфікації можуть розв’язати з різним успіхом. Але не завжди це означає те, що той, хто справився краще - й справді кращий, поки це не підтверджено декількома випадками. Йому може і пощастило. Не робіть висновки на основі одного випадку. Якщо футбольна команда сьогодні перемогла іншу з рахунком 1:0 - це не означає, що так буде завжди.

Залежність не означає спричинення. Якщо ви бачите дві залежні величини, це ще не означає, що саме перша спричиняє другу, а не навпаки. Якщо люди, що закінчили університет на загал мають вищий IQ, це може означати, що університет підвищує IQ, але також означати, що люди з високим IQ частіше обирають університет. Величини й взагалі можуть обидві залежати від третьої, незгаданої величини. Якщо чорноволосі частіше їдять рис, то це не рис робить ваше волосся чорним. І чорне волосся також не означає більшу любов до рису. Рис їдять в Азії, в Азії ж більшість - чорноволосі.

Хаос

Хатичні процеси - вкрай цікаві. Вони не випадкові, в них є закономірність, але їх складно, а іноді неможливо передбачити. Вони знаходяться в стані динамічної рівноваги, котра весь час змінюється. Хаотичні процеси - це не просто фізичне явище. Вони передбачені математикою, наприклад формулами Лоренца. Хаотичною є погода, ринки цінних паперів, землетруси та інше.

Хаотичні системи складно передбачити, тому що незначна зміна умови кардинально змінює результат. В хаотичних системах, навіть якщо ми все ідеально прорахуємо, ми все одно швише всього помилимося, бо хаос дасть про себе знати

Хаотичні системи часто стають такими при певних умовах. Є математична формула, котра при певних числах дає передбачувані результати, а при інших - хаотичні. Наш стабільний процес може стати хаотичним при збільшенні його інтенсивності: наприклад, якщо там з’явиться більше людей, або він частіше повторюватиметься.

Вічний рух у хиткій рівновазі - таким є і наше життя. Якщо вам здається, що все вічно змінюється і весь час треба щось робити, ви нічого не встигаєте, то це і є життя.

Хаос часто виникає на межі. Є великі стабільні області, але на їх межі - виникає хаос. На межі перетворення води на лід, на межі між державами, на межі між добром і злом. Області хаосу не відміняють існування стабільних областей і навпаки.

Хаос знаходиться в динамічній рівновазі. Але ми не можемо передбачити, коли ця рівновага порушиться. Планети крутяться навколо Сонця. Але в якийсь момент їхні орбіти різко зміняться. В який момент - не ясно, але це відбудеться. Хоч ззовні система і виглядає стабільною. Катастрофи - непередбачувані. Треба знати, що вони можуть відбутися і бути до них готовими. Очікуйте неочікуване.

Висновок

Справедливий лад - можливо і недосяжна задача. Залежить від того, як ми визначимо слово “справедливість”. Але хто зна, чи навіть можливо дати повне визначення, і чи не буде воно при цьому суперечливим. Можливо справедлива система є хаотичною - постійно в русі, ніколи не завершена. Але це не означає, що не варто старатися. Треба йти до неї, покращуючи вже наявний стан, і задовольнятися доволі хорошим, хоч і не найкращим рішенням.

І, не забуваймо: співпрацювати та думати про добро для інших - це краще ніж зраджувати і думати лише про себе. І це не просто краще, це й вигідніше.

Розширивши цю статтю, можна було б написати цілу книгу. Декілька книг на вищезгадані теми вже є.

Мої схожі статті:

https://medium.com/@navpil/newton-chaos-7abeec6f93d3