Dmytro Polovynka

Поширені помилки з відсотками, що дорого коштують

Відсотки вчать у школі і люди думають, що вони їх розуміють. Але це не так. Люди часто роблять типові помилки при рахуванні відсотків і все б нічого, але це може коштувати грошей і не малих. Адже відсотки часто використовують у торгівлі та фінансах - саме там, де можна заробити, але і втратити.

Я зібрав найтиповіші помилки з прикладами. При чому з багатьма з цих прикладів я особисто зустрічався у житті.

Але перед тим як перейти до власне помилок, я хочу пояснити, чому люди так помиляються у відсотках. Одне з пояснень - що людський мозок еволціонував для рахунку цілих чисел, а не незрозумілих дробів, чи відсотків. Але насправді обчислення у відсотках плутають через те, що слова “додавати” чи “віднімати” з відсотками мають інше значення в різних обставинах. А конкретно - додавання чи віднімання відсотків - це насправді може бути ділення чи множення. Це - плутає. І ви, я сподіваюся, зрозумієте це на прикладах.

Читати всю статтю не обов’язково, і я вказуватиму місця, де можна припиняти читати. Найважливіші моменти були винесені на початок.

Зміст:

Вступ: додати 50 і відняти 50 не дорівнює 0, або хто пітніє більше

Колись давно була реклама чоловічого дезодоранту, в якому була фраза “Чоловіки пітніють на 50% більше ніж жінки”. І моя подруга логічно з цього зробила висновок, що жінки підніють на 50% менше ніж чоловіки. І це, мабуть, найтиповіша помилка з відсотками. Чому помилка? Уявіть собі, якби в рекламі сказали, що чоловіки пітніють на 100% більше ніж жінки. Якщо б за тією самою логікою жінки пітніли на 100% менше ніж чоловіки - то вони б не пітніли взагалі (адже віднявши від якоїсь величини 100%, отримуємо нуль). А якби чоловіки пітніли на 150% більше ніж жінки, то жінки, пітніючи на 150% менше ніж чоловіки не те що б не пітніли, а пітніли навпаки, всмоктуючи піт з навколишнього середовища.

Я спеціально довів ситуацію до абсурду, щоб ви краще зрозуміли, що якщо ви додали 50%, то віднімати 50% від цієї суми, щоб отримати первісне значення - неправильно. А як правильно?

Для кращого розуміння наступного тексту, уявімо собі, що чоловіки пітніють не на 50%, а лише на 25% більше. Згадуємо, що додавання 25% - це насправді множення. А конкретно - множення на 1,25. Для того, щоб зробити обернену дію, треба не віднімати 25% (що є множенням на 0,75), а поділити на 1,25. Ділення на 1,25 - це те ж саме, що помножити на 0,8 - тобто віднімання 20%. Якщо чоловік пітніє на 25% більше ніж жінка, то жінка пітніє на 20% менше ніж чоловік. А у рекламі з дезодорантом жінки пітніють відповідно на 33% (ділення на 1,5), а не на 50% менше за чоловіків.

Але хто скільки пітніє - не так вже й важливо. Значно сумніше помилитися, коли ми додаємо, чи віднімаємо відсотки з грошима.

Коли треба звернутися до бухгалтера

Дам два приклади з житття, коли люди помилялися з відсотками рахуючи гроші.

Перший - торгівець додавав 10% до прихідної ціни, щоб продавати гуртом. Коли ж йому довелося віддати товар по прихідній ціні (це був його торгівельний партнер), він відняв від ціни товару 10% і думав, що вийшов у нуль. Насправді ж він віддавав товар собі у збиток, тому що, якщо прихідна ціна була 100грн, то гуртова ціна ставала 110грн, а віддавав він товар за 99грн. Таких помилок він припускався завжди, коли віднімав відсотки - наприклад коли він накидав на прихідну ціну 40%, отримуючи роздрібну ціну, а потім, коли хотів отримати ціну з лише 10%-вою націнкою, то віднімав 30% від роздрібної та отримував гуртову. Проблема була в тому, що ця гуртова ціна насправді теж була нижчою за прихідну. Помилка цього торгівця була в тому, що він буквально сприймав додавання і віднімання відсотків, як віднімання і додавання цілих чисел. Але, як ми вже згадували, додавання і віднімання - це множення чи ділення.

Другий приклад в своєму житті я бачив аж двічі, коли людину з відділу кадрів попросили порахувати зарплату. Задача була така: якщо працівник хоче отримувати на руки чистими 10 000 грн, а податок - 30%, то яку зарплату треба йому насправді нараховувати? Наївний підхід - додати до 10 000 грн 30% і вказати зарплату до податків 13000 грн. Але працівники на руки з такими розрахунками отримали не 10 000 грн грн, а лише 9 100 грн, що є майже на тисячу менше. Чому так? 30% податків рахується з зарплати до податків, а не з чистої зарплати. Фінансисти цю різницю іноді називають “рахунок зі сто” і “рахунок на сто”. В цьому випадку треба було рахувати “на сто”. Чиста зарплата була не 100%, а лише 70%. А зарплата до податків - це було тих 100%, яких треба було вирахувати. В даному випадку - ділити чисту зарплату на 0,7 і отримати 14 286 грн.

В обидвох прикладах треба було звертатися до бухгалтера, чи фінансиста. Вони такої помилки не мають припуститися. Тому, якщо вам ці розрахунки здають складними, зверніться до професіонала. Але для того, щоб до нього звернутися, треба знати, що проблема з відсотками в принципі існує, і я сподіваюся, ви це вже запам’ятали.

Кредит під 100% річних вигідніший ніж під 1% в день

Ця помилка - не математична, а психологічна. Різні фінансові установи, не бажаючи лякати споживача високими відсотками люблять вказувати не річні відсотки, а місячні, а організації швидких кредитів - навіть денні. І ось ми чуємо в рекламі “беріть кредит лише під 1% в день”, але звертаємо увагу на кількість відсотків, а не на термін. А в році днів аж цілих 365. Завжди звертайте увагу на період розрахунку відсотків. Тому що місячні відсотки треба множити на 12, а деннні - на 365. Зробити такий розрахунок в голові не завжди просто, тому організації зобов’язані вказувати в рекламі ефективну річну ставку, але її часто вказують дрібним шрифтом. А якщо ви позичаєте гроші, назвімо це, на тіньовому ринку (у “дона Василя з третього під’їзду, але краще віддай вчасно, бо в нього є зв’язки”), то там ніяких ефективних річних ставок вам не вкажуть.

Але з відсотками, що рахуються в день, чи в місяць, пов’язане таке явище, як капіталізація. Слово - страшне, але обов’язкове для вивченння, якщо ви не хочете попасти на гроші.

Капіталізація - страшний термін, знати який - обов’язково

Уявіть собі, що ви кладете гроші - а саме 10 000 грн - в банк під 12% річних. Логічно можна порахувати, що 12% в рік - це 1% в місяць. В кінці першого місяця вам нарахується 100 грн, що є 1% з 10 000. І ось питання - скільки грошей вам нарахується в кінці другого місяця? І є дві відповіді.

Відповідь перша - нарахується знову 100 грн, адже 1% з 10 000 грн буде 100 грн, закони математики за один місяць не помінялися, хіба ні?

Відповідь друга - оскільки 100 грн вже були нараховані і грошей в нас стало трохи більше, то 1% треба рахувати не з 10 000 грн, а з 10 000 + 100 = 10 100 грн. Тому треба нараховувати 1% з 10 100, що дорівнює 101 грн. І це називається “капіталізація відсотків” - коли вже нараховані відсотки включаються в тіло депозиту і наступні відсотки нараховуються з попередніх відсотків.

Різниця в одну гривню може здатися незначною. Але різниця насправді величезна - в першому випадку депозит росте в арифметичній прогресії, а в другому - в геометричній і за певний час це буде відчутно. Для ілюстрації уявімо собі іншу ситуацію - ви взяли кредит 10 000 під 1% за день. В першому випадку (без капіталізації відсотків) через рік ви будете винні 46 500 грн, оскільки кожен день буде нараховуватися 100 грн боргу. Але якщо відсоток буде нараховуватися на всю суму позики, включно з нарахованими раніше відсотками (з капіталізацією відсотків), то через рік ви будете винні 377 824 грн. Це - не хибодрук. Триста сімдесят сім тисяч гривень, якщо прописними, що в 37 разів більше, ніж оригінальна позика.

Буває, що від таких лихварських схем з шаленими відсотками рятує законодавство. Але якщо ви звертаєтеся до тіньових лихварів, то на них закон не діє. Тому завжди уважно перевіряйте умови позичання грошей. Буває, що відсотки нараховуються простим способом, а пеня за невиплачений кредит - за схемою капіталізації.

Математика з капіталізацією відсотків - не складна, але я не змушуватиму вас її вивчати (кому цікаво - знайде, там має бути формула з підняттям у степінь). Головне запам’ятайте, що ви не хочете взяти кредит на 10 000 грн а потім бути винним майже чотириста тисяч, бо не хотіли вивчити таке слово, як “капіталізація”.

Якщо ви не хочете втратити гроші у типових ситуаціях, де трапляються відсотки, ви можете закінчити читати тут. Можете перечитати ще раз попередній текст і добре запам’ятайте типові помилки з рахуванням відсотків. Але якщо вам цікаві інші моменти, де люди помиляються з відсотками - читайте далі.

Відсотки з температури - беззмістовні

Вчора була температура 20 градусів, а сьогодні - 30. Отже температура зросла на 50%. Чи ні? А якщо перевести з Цельсіїв у Кельвіни (додаємо 273, хто забув), то була температура 293, а стала 303. Тепер температура зросла лише на три з половиною відсотки. Добре, може домовимося рахувати в Цельсіях. Але на скільки тоді відсотків виросла температура з нуля до десяти? Виходить, що на безкінечність. А якщо було -2 а стало 4? Відсотки втрачають будь який зміст, якщо числа можуть ставати меншими за нуль, або нулем.

Далі іде жарт для ботанів. Одному інженеру дали завдання пересилати повідомлення з одного апарату на інший. Ці апарати були особливими, працювали на різних протоколах, відповідно передавати повідомлення одне одному не могли (все було значно складніше, але я не можу вдаватися в деталі). Інженер зробив рішення, коли повідомлення передавалося між цими апаратами за хвилин 20. Цей час був занадто довгим для практичних цілей, але інженер заперечив “це все одно в безкінечно разів краще ніж ніколи”.

З цього часу це - мій улюблений жарт, коли продуктивність виростає з нуля до мінімальної величини - наприклад прибуток виріс з нуля гривень до трьох. Тому що це - зростання на безкінечну кількість відсотків. Краще бути не може.

Прибуток теж може бути мінусовим. Говорити про зростання прибутку у відсотках може теж бути беззмістовним. На скільки виріс прибуток з минулого року, якщо минулого року ми були збиткові?

Ні, ви, звісно, можете рахувати відсотки з температури чи зростання прибутку, але маєте розуміти, що це не завжди спрацює.

Середнє арифметичне з відсотків - безглузде

Цех №1 показав зростання продуктивності на 20%, а цех №2 - на 30%. Отже в середньому продуктивність виросла на 25%, правда ж? Ви вже мабуть відчуваєте, що це питання - підступне. Давайте дамо конкретні числа з цехів. Перший виробляв 1000 виробів у день, а зараз 1200, другий цех виробляв 400 виробів на день, а зараз виробляє 520. Разом вони виробляли 1400, а зараз - 1720. Загальне зростання - менше 23 відсотків.

Відсотки знову зрадили нас, усі арифметичні дії з ними мають якийсь підступ. Навіть середнє арифметичне з них порахувати нормально не можна.

Скільки буде 2+2?

Про додавання відсотків ми вже говорили в частині про капіталізацію відсотків. В залежності від того, що і як ми рахуємо, два відсотки плюс два відсотки дорівнватиме 4%, або 4,16%. А як щодо віднімання?

Скільки буде 5-4?

Припустімо ми таки хочемо відняти відсотки. Наприклад приріст ВВП - цифра яка показує на скільки виросла економіка держави за рік. Припустімо минулого року приріст ВВП був 4%, а цього року він вже 5%. На скільки піднявся приріст ВВП? Оскільки було 4% а стало 5% - то логічно сказати на 1 відсоток. Але насправді правильно казати “на один відсотковий пункт”. Тому що різниця між 4 і 5 - не 1%, а цілих 25%.

Інший приклад - в одного адвоката відсоток успішно завершених справ 25%, в іншого 50%. Різниця між цими адвокатами - в два рази (тобто плюс 100% якщо рахувати відсотки від першого, або мінус 50% якщо рахувати від другого), а не на 25%. В цьому випадку теж вартувало б казати “різниця на 25 відсоткових пункти”.

Як 25% робочої сили держави може сісти у в’язницю

Читаючи про одну острівну державу в Тихому Океані, а саме острів Піткерн, я натрапив на цікаву фразу “в 2004му році стан економіки значно погіршився, бо 25% робочої сили сіло у в’язницю через зґвалтування”. Як таке взагалі може бути взагалі? Чверть робочої сили держави… мені це взагалі на голову не налазило. Аж доки я не перевірив цифри. Населення острова було півсотні людей. Робоча сила - половина з них. Шестеро чоловіків скоїло злочин і сіло у в’язницю. Там взагалі цікава історія, бо на цьому острові навіть в’язниці не було і клітку везли аж з-поза океану, але зараз ми не про це, а про відсотки.

З цієї історії я вивчив, що іноді важливими є абсолютні значення, а не відсотки.

Іншим прикладом може бути зростання прибутку. Зростання прибутку з 10 грн до 20 грн - це стовідсоткове зростання, але вас більше потішить зростання з 1000 0000 до 1100 000 грн, хоча тут зростання лише 10%.

І якщо ви чули фразу “є три види брехні - звичайна, нахабна і статистика”, то останній абзац - це простий приклад такої собі брехливої статистики. Мала компанія буде наголошувати на динаміці росту, приховуючи абсолютні числа. Велика компанія, імовірно, буде робити навпаки.

Були якісь ліки, на жаль не пам’ятаю деталей, які так і не поступили в продаж, тому що вони підвищували ризик летального наслідку від іншої хвороби (не тої, яку вони мали лікувати) на 50%. Потім виявилося, що загальна кількість цих летальних наслідків в рік на Велику Британію було 2. Тобто ці ліки, котрі могли врятувати велику кількість життів скасували, через ризик збільшити цей показник з 2 на 3. Знову ж таки - обговорення у відсотках було безглуздим без згадки про абсолютні числа.

І раз ми вже обговорюємо відсотки, додам два бонусні факти, які зовсім не обов’язково читати, але мені вони здалися достатньо цікавими, щоб їх згадати.

Бонус: Проклята гра з казино

Уявіть собі таку гру з казино - ви ставите будь-яку суму і підкидаєте монетку. Якщо монетка випала гербом, то вам повертають цю суму і плюс 60%, якщо ж випала “числом” - то вам повертають цю суму без 50%. Тобто якщо ви поставили 100 грн, то при перемозі ви залишитеся з 160 грн (100 + 60%), якщо ж ви програли - то лишаєтеся з 50 грн (100 - 50%). Чи вигідною є ця гра? Виграш в 60грн при програші в 50грн - це однозначно вигідно для гравця, середній виграш 10грн. Казино в цю гру грати не буде.

Але що якщо гравець продовжуватиме грати в цю гру зі всіма грошима, що в нього лишаються? Проста математика показує, що якщо він після програшу поставить 50 грн, що в нього лишилося і переможе, то отримає 80 грн. Якщо він після виграшу поставить 160 грн і програє, то отримає 80 грн. Результат такий самий, тому що додати 60% і відняти 50% в залишку лишає 80% від початкової суми. Чим далі ви граєте з цією ж сумою, тим більше ви програєте - середній програш 20%. Гравець в цю гру грати не буде.

Що ж це за гра така, що в неї невигідно грати ні казино ні гравцеві? Якась проклята гра з тим проклятими відсотками.

Бонус №2: Багаті і так платять більше

Коли вигадували систему оподаткування, то хотіли зробити її справедливою. Хто заробляє лише 10 золотих мав би платити менше за того, хто заробляє 100 золотих. Власне це зрозуміли вже давно і ввели таке поняття, як “десятина” - нашими словами десять відсотків податків (збіг назв випадковий, якби це була “двадцятина”, то нашими словами це було б 5 відсотків податків, а не 20). Отже придумали систему, де багаті платять більше, використовуючи фіксовану частину від прибутку, іншими словами - відсоток від прибутку.

Але ось проблемка - тепер, оскільки ми використовуємо одне число, щоб описати скільки багатий і бідний платить податків, в людей, що погано знайомі з математикою та історією економічних відносин, складається враження, що багаті платять так само як і бідні, бо відсоток же ж той самий. І їх не цікавить, що в абсолютних числах багаті платять більше, вони просто хочуть, щоб багаті платили 50% податків, коли бідні платитимуть лише 30%, бо 50 - більше ніж 30.

Але добре, добре, можна було б вигадати якусь систему, щоб не лише податок ріс разом з прибутком, але і сам відсоток? Звісно можна! Ось, будь-ласка, формула:

Податок = (1 - (1/((прибуток/коефіцієнт) + 1)*(максимальний податок - мінімальний податок) + мінімальний податок.

Формула не така страшна - це просто обернена гіпербола. Суть в тому, що вибравши певний коефіцієнт, наприклад 50000 - ми можемо задати зміну відсотка податку. Тобто багаті не лише платитимуть більше податків, що вони і так роблять з відсотковою системою, але в них ростиме сам відсоток цього податку.

Але знаєте що станеться далі? Через декілька років хтось помітить, що цей “коефіцієнт” однаковий для бідних і для багатих! О ні! Багаті платять так само як і бідні, бо в них однаковий коефіцієнт. А можна було б якось зробити так, щоб багаті платили більше, ніж бідні? Можна збільшувати їм коефіцієнт? Звісно можна! Але… Чи не здається вам, що це якесь замкнене коло? Щойно придумають фіксовану формулу, яка зробить так, що багаті платитимуть більше, людям буде заважати, що формула - фіксована. І треба зробити її динамічною, щоб було справедливо.

Чому я це згадав? Не тому що я - прибічних класичного лібералізму, чи великий прихильник капіталізму. Мені просто муляє принципове нерозуміння людьми відсотків - які використали для розрахунку податків саме через те, що вони були справедливими - хто заробляє більше, той платить більше (про це, насправді, можна теж сперечатися, але стаття не про це). Якби відсотки не використали, а так і казали - хто заробляє 10 золотих хай платить 1 золотий, хто заробляє 100 золотих - хай платить 10, хто заробляє 1000 золотих - хай платить 100, то в людей би не складалося враження, що багаті платять так само як і бідні. Відсотки - зручні, але можуть бути оманливими.

Підсумок

Я сподіваюся, ви зрозуміли, що з відсотками не все так просто. Вони - підлі і підступні, їх використовують де треба і не треба, з ними складно робити навіть такі прості арифметичні операції, як додавання чи віднімання, а ділення та множення я навіть не обговорював.

Можливо ви звернули увагу, що усі згадані проблеми не були пов’язані з тим найпростішим використанням відсотків - коли ми пояснюємо як частини цілого співвідносяться між собою. Наприклад, коли ми говоримо про віковий склад населення. Якщо ви додаєте між собою шматки торта, то ніякої капіталізації відсотків там не буде. 25% торта + 25% торта = 50% торта, тут все просто.

Але щойно ми виходимо за найпростіше використання відсотків, нас чекають проблеми. Будьте уважними.