Неочікувана складність кореня кубічного з одиниці замість вступу в теорію хаосу
Якщо ви хоч трохи пам’ятаєте програму шкільної математики, то знаєте, що корінь кубічний з одиниці дорівнює одиниці. Якщо ж ви це забули, то щойно пригадали. Тим дивніше, що таке просте обчислення містить у собі таємницю хаосу. І якщо вам хоч трохи подобалася математика, сподіваюся, що вас результати здивують так само як і мене. Для того, щоб пояснити де в корені кубічному з одиниці ховається хаос треба буде пригадати, що таке уявні числа, а також дізнатися про існування методу Ньютона. Але не бійтеся - в деталі вдаватися буде не треба. Важливо просто зрозуміти принцип.
Почнімо з того, що в рівнянні де ікс дорівнює кореню кубічному з одиниці, є аж три розв’язки, якщо брати до уваги уявні числа. Що ж таке уявні числа? Це ті числа, котрі містять в собі загадкове число “і”, котре дорівнює кореню з мінус одиниці. Оскільки з мінусових чисел брати корені не можна - то такі числа можна вважати безглуздими. Але, виявилося, вони дуже допомагають при обчисленнях. Особливо зручно ними позначати точку на площині, де реальна частина (та, що без “і”) позначає координату X, а уявна - координату Y. І розв’язки кореня кубічного з одиниці знаходяться на однакових відстанях від початку координат (точки 0,0) на цій площині утворюючи рівносторонній трикутник. Конкретно - це числа (-1/2 + i√3/2) та (-1/2 - i√3/2) окрім, звісно, самої одиниці. Можете самі перевірити, що в кубі ці числа дають одиницю - помножте ці числа самі на себе тричі і прийміть квадрат з числа “і” за -1. Якщо вам цікаво. А якщо ні - повірте мені на слово.
Тепер трохи про метод Ньютона. Колись давно, коли ще не було калькуляторів, а треба було порахувати якісь складні корені квадратні, як ви гадаєте, що робили? Ну ось треба вам порахувати корінь квадратний з 2396, а калькулятора нема - що тепер? Можна було спробувати вгадати розв’язок на око - наприклад в цьому випадку трохи менше за 50, хай буде 48. Тепер множимо і дивимося, чи ми вгадали. Якщо не вгадали - коригуємо наш перший здогад і пробуємо знову. Метод робочий, але не надто зручний. Особливо марудно, коли потрібна точність до певного знаку після коми, а ви весь час перестрибуєте назад і вперед та ніяк не можете потрапити. І тут прийшов Ньютон і придумав спосіб, як не вгадувати щоразу, а кожного разу досягати все більшої і більшої точності, просто підставляючи результат попереднього обчислення в певну формулу. Тобто можна просто взяти будь-яке число, а потім декілька разів використавши метод Ньютона дійти до правильного результату.
З тексту про уявні числа та метод Ньютона насправді треба зрозуміти дві основні речі. Перша - що в кореня кубічного з одиниці є три розв’язки на площині. Друга - що будь-яка точка на площині “тяжіє” до якогось з розв’язків, якщо застосувати до цієї точки метод Ньютона. Наприклад число 0.9 тяжіє до розв’язку 1. А число -0.3-5і тяжіє до одного з уявних розв’язків.
І ось тут починається найцікавіше. До якого з трьох розв’язків тяжіє кожна точка на площині? Можна уявити собі, що в кожного розв’язку є так звана “зона впливу”, де усі точки тяжіють до цього розв’язку. Яким буде малюнок, якщо кожній точці надати певного кольору в залежності від того, до якого розв’язку вона тяжіє? Ось результат (чорними цятками позначені самі розв’язки, червоним, синім і жовтим - числа, які до них тяжіють).
Мабуть, ви очікували побачити інший малюнок. Наприклад, де є чітка межа між кольорами. А тут межа не чітка, а своєрідна, хаотична, такими собі листочками, чи жучками. А тепер ще своєрідніший факт - і він далеко не очевидний: межа не є чіткою як би ви не наближали, чи навпаки віддаляли малюнок. Межа між двома кольорами завжди буде виглядати як жучки у будь-якому масштабі. Математично доведено, що у будь-якій точці, де граничать два кольори, вони граничать і з третім. Якщо у вас працює геометрична уява, то від спроби це уявити у вас за деякий час закипить мозок, бо це, здавалося б, неможливо. Але у тому випадку, коли у вас жучок обрамлений жучками обрамлений жучками обрамлений жучками і так до безкінечності - це можливо.
Жучок обраблений жучками обрамлений жучками - це фрактал, якщо ви не знали. Самоподібна структура, яка схожа сама на себе у будь-яких масштабах. Схожими на фрактал є дерева: галузка - менша копія цілого дерева. Наша кровеносна система, яка галузиться на все менші і менші судини за певними правилами, теж схожа на фрактали. Фрактали дозволяють кодувати дуже складну структуру малою кількістю інформації. Наприклад для кодування наших судин треба лише сказати в якому співвідношенні треба відгалужуватися, а не кодувати всі без винятку відгалуження. Також фрактали дозволяють пакувати необмежену кількість площі в обмеженеий об’єм. Це, наприклад, наші легені, котрі, при такому обмеженому об’ємі якщо їх розкрити покривають площу тенісного корту. Фрактали - це безумовно цікава тема і вона часто з’являється при обговоренні хаосу. Власне, на приклад про корінь кубічний з одиниці я натрапив в книгі “Хаос” Джеймса Ґляйка.
Зазвичай, коли розказують про хаос то вибирають інші теми, а не корінь кубічний з одиниці. Однією з таких є тема непередбачуваності погоди і формули Лоренца. Або обговорення зміни чисельності тварин і стабільні та нестабільні стани цієї системи. Чому ж мені так сподобалася саме ця формула?
Мабуть, тому що вона найкраще показує одну з цікавих причин хаосу. А конкретно - що хаос часто виникає на межі. При чому сприймати це можна як прямо, так і метафорично. Коли система переходить з одного стану в інший стан - наприклад вода перетворються на лід - система стає хаотичною. Коли населення однієї держави перетікає в іншу, на кордонах часто буває хаотична ситуація з етнічним складом. І, як би це абстрактно не звучало, хаос виникає також на межі понять, включно з такими, як добро і зло.
Те, що хаос виникає на межі, з іншого боку означає, що поруч з хаосом існують зони стабільності. І треба вміти відрізняти місця, де все зрозуміло, від місць “де живуть дракони”. (“Тут живуть дракони” писали середньовічні картографи на місцях на картах, котрі їм були невідомі) Якщо ви читали “Чорного Лебедя” Насіма Талеба вам це має звучати знайомо. Тепер це можна собі уявити наочно. Лише тут - місця де живуть не “дракони”, а “жучки”.
Помиляються ті, котрі вважають, що все в цьому житті визначене і все можна чітко розкласти по полицях. Ще більше помиляються ті, хто, вказуючи на зони з хаосом, кажуть “ось бачите, тут все не ясно, отже нічого в цьому світі не ясно”. Перші - фундаменталісти, другі - релятивісти. Покажіть їм цю картинку, хай подумають. Присутність хаосу не відмінює існування стабільних зон. Стабільні системи теж можуть впадати в хаос при певних обставинах. Це - неочікувані висновки з питання “скільки буде корінь кубічний з одиниці”.
Невеликі зміни у вхідних параметрах кардинально змінюють результат (погода, саме тому її так складно обчислювати)
Хаос піддається чітким законам, він навість стабільніший за стабільні системи. Самопідтримка і “пульсація” (“циклічність”) життя є хаотичною системою. Прихід до рівноваги - це смерть. На жаль смерть іноді теж приходить хаотично (синдром раптової смерті немовляти)
Хаос - детерміністична випадковість.
Зазвичай при вступі в хаос говорять або про формулу росту популяції, або про атрактор Лоренца.
https://beltoforion.de/en/magnetic_pendulum/ http://www.bugman123.com/Fractals/index.html